فهرست

عنوان.......................................

پيش گفتار ..................................

خلاصه‌ي مطالب ................................

1فصل اول ...................................

1-1مقدمه ...................................

1-2پيش نيازها ..............................

تعاريف .....................................

قضيه ها.....................................

2فصل دوم ...................................

2-2مركز ....................................

2-3 ميانه ..................................

2-4 مجموعه هاي غالب ........................

منابع .........................................

 

پيش گفتار

تاريخ، خود نقطه‌ي عطف شمارگاني است كه پيوسته و ناپيوسته چهار مضراب عشق را حول محور تمركز اعداد نواخته و به اثبات حقانيت واحد، دراصول هستي پرداخته است.

امتداد جريان ثبوت حقانيت شمارگان، خواه در آن برهه از زمان كه خوارزمي اش مي‌سرود و چه در ديگر زمان ها كه اقليدس و فيثاغورثش تجلي بخشيدند، شاه بيت هاي مطلعش را با تخلص آخرش پيوند زدند تا غزل گونه اي باشد، غزل شكار، نه تجنيسش افراط بخشيدند و نه جذرش تفريط، چرا كه عدد يك واحد، دو واحد عدد يك ماند وخواهد ماند.

نسيم نوروزي

آبان ماه 1385

 

خلاصه‌ي مطالب

برآن شدم تا با تلاش مستمر مطالبي را از نظر گراميتان بگذرانم كه بديع باشد و قابل ارائه، اميدوارم رضايت خاطر شما خوانندگان گرامي را جلب نمايم. دراينجا خلاصه‌اي از مطالبي كه مطالعه خواهيد كرد آورده شده است.

دريك حلقه‌ي جابجايي و يكدار R، گراف مقسوم عليه صفر، ، گرافي است كه رأس هاي آن مقسوم عليه هاي صفر غيرصفر R مي باشند كه درآن دو رأس مجزاي xو y مجاورند هرگاه xy=0. اين مقاله اثباتي براين مطلب است كه اگر R نوتري باشد آن گاه شعاع ،0،1 و يا 2 مي باشد و نشان داده مي شود كه وقتي R آريتن مي‌باشد اجتماع مركز با مجموعه {0} اجتماعي از ايده آل هاي پوچ ساز است. زماني كه مركز گراف مشخص شده باشد مي توان قطر را تعيين كرد و نشان داده مي‌شود كه اگر R حلقه‌ي متناهي باشد آن گاه ميانه زير مجموعه اي از مركز آن است. زماني كه R آريتن باشد با به كاربردن عناصري از مركز مي‌توان يك مجموعه‌ي غالب از ساخت و نشان داده مي شود كه براي حلقه‌ي متناهي ، كه F ميدان متناهي است، عدد غالب مساوي با تعداد ايده آل هاي ماكسيمال مجزاي R است. و همچنين نتايج ديگري روي ساختارهاي بيان مي‌شود.

واژه هاي كليدي

مجموعه هاي مركزي؛ حلقه‌ي جابجايي؛ مقسوم عليه صفر؛ گراف مقسوم عليه صفر

فصل اول

1-مقدمه

حلقه‌ي جابجايي و يكدار R داده شده است. گراف مقسوم عليه صفر، ، گرافي است كه رأس هاي آن مقسوم عليه هاي صفر غيرصفر حلقه R مي باشند، بين دو رأس مجزاي x و y يال وجود دارد اگر وفقط اگر xy=0 باشد. گراف مقسوم عليه صفر حلقه‌ي R با نشان داده مي شود. اين تعريف از ابتدا توسط livings ston (1999) و anderson بيان شد كه تعداد زيادي از ويژگي هاي اساسي مورد بررسي قرار گرفت. تعريف اصلي توسط Beck (1988) و Nasser (1993) و Auderson بيان شد كه همه‌ي عناصر حلقه به عنوان رأس هاي گراف انتخاب مي شدند.

و anderson et al.(2001) , De meyer and Schnieider (2002), Smit (2002) مقاله‌هاي ديگري درارتباط با گراف مقسوم عليه صفر از حلقه هاي جابجايي مي‌باشند. اين ساختار هاي گرافيكي به شكل موضوع هاي جبري ديگر توسط Cannon et al.(2005) and DeMeyer et al.(2002), Redmond (2002)2003,2004) تعميم داده شده است، كه در ادامه به آن مي پردازيم.

درطول اين پژوهش برآنيم كه نتايجي را روي حلقه هاي يكدار و جابجايي متناهي بيابيم. اين نتايج براي عمومي ترين موارد ممكن بيان مي شود. هدف ارائه دادن همه‌ي نظريه هاي كاربردي از مركزيت گراف و تحقيق درمورد مفاهيم تقريباً محض از گراف هاي مقسوم عليه صفر مي باشد. ابتدا نشان داده مي شود كه شعاع هاي گراف مقسوم عليه صفر يك حلقه نوتري و جابجايي و يكدار 0، 1، 2 مي‌باشد. اين قضيه دربخش هاي بعدي براي تعريف خصوصيات سه مجموعه مركزي (مركز، ميانه و مجموعه هاي غالب با اندازه‌ي مي نيمال) درگراف هاي مقسوم عليه صفر از حلقه‌هاي جابجايي و يكدار به كاربرده مي شود. و نيز ارتباط بين اين مجموعه ها مورد بررسي قرار مي گيرد. به عنوان پيامدي از اين نتايج، ويژگي هاي ديگري از را بيان مي كنيم كه از جمله‌ي آن ها قطر و كران هاي روي تعداد يال هاي گراف مي‌باشد.

2-پيش نيازها

بالطبع لازمه‌ي پردازش به مبحث مجموعه هاي مركزي و شعاع ها در گراف هاي مقسوم عليه صفر حلقه هاي جابجايي واقف بودن به تعاريفي است كه آن را بايد پيش نياز ناميد:

تعريف1.2.1 پوچ ساز (annihilator)x مجموعه‌ي عناصر مي باشد به طوري كه xy=0 به عبارت ديگر

تعريف 2.2.1 عنصر ناصفر x درحلقه‌ي R را يك مقسوم عليه صفر (zero dirisor) گوييم هرگاه عنصر ناصفري از R مانند موجود باشد به طوري كه xy=0.

مجموعه‌ي مقسوم عليه هاي صفر حلقه‌ي R را با Z(R) نشان مي دهيم كه به صورت زير مي‌باشد:

تعريف 3.2.1 عنصر راعنصر پوچ توان R (nillpotent) مي ناميم هرگاه موجود باشد به طوري كه xⁿ=0.

تذكر: بديهي است كه هر عنصر پوچ توان يك مقسوم عليه صفر حلقه مي‌باشد.

تعريف 4.2.1 پوچ راديكال (nillradical) حلقه‌ي R ايده آلي شامل همه‌ي عناصر پوچ توان حلقه R مي باشد كه به صورت nill (R) نمايش داده مي شود.

تعريف 5.2.1 اشتراك همه‌ي ايده آل هاي ماكسيمال حلقه‌ي R را راديكال ژاكوبسون R (Jacobson) مي ناميم و با J(R) نمايش مي دهيم.

تعريف 6.2.1 حلقه‌ي R راتحويل يافته يا تقليل يافته (reduced) مي ناميم هرگاه عنصر پوچ توان غيرصفر نداشته باشد.

اكنون مروري داريم بر بعضي از تعريفات و نمادهاي نظريه گراف:

تعريف 7.2.1 گرافي مانند G=(V,E) ساختاري است مركب از يك مجموعه‌ي متناهي مانند V از رئوس (گره ها) كه با نماد V(G) نشان داده مي شود و يك زير مجموعه از زير مجموعه هاي دو عنصري V مانند E از يال ها، و دو رأس از V مانند W,V مجاورند اگر يالي مانند e از E آن دو را به هم وصل كند. يالي كه رأسي را به خودش وصل كند طوقه نام دارد.

V={a,b,c,d}

E={(a,b), (b,c), (a,c), (c,d)}

 

تعريف 8.2.1 گرافي كه بين دو رأس آن بيش از يك يال وجود داشته باشد را گراف چندگانه مي ناميم.

 

 

تعريف 9.2.1 گرافي را ساده مي نامند هرگاه طوقه و يال چندگانه نداشته باشد.

تعريف 10.2.1دو رأس را مجاور گويند هرگاه كماني از يكي به سوي ديگري وجود داشته باشد.

تعريف 11.2.1 گرافي را همبند گويند هرگاه بين هر جفت از رئوس آن مسيري وجود داشته باشد.

تعريف 12.2.1 گراف ساده‌ي n رأس را گراف كامل مي نامند هرگاه هر رأس آن با همه رئوس ديگر مجاور باشد. يك گراف كامل n رأسي را با kⁿ نمايش مي دهيم.

 

 

 

تعريف 13.2.1 گراف G را گراف دو بخشي كامل مي ناميم هرگاه: اگر مجموعه‌ي رأس ها اجتماعي از دو مجموعه‌ي مجزاي B,A باشد، هر عضو از A با هر عضو از B مجاور باشد ولي هيچ دو عضو از A و هيچ دو عضو از B مجاور نمي باشند، گراف دو بخشي كامل را با k^n,m نمايش مي دهيم كه درآن به طور مثال اگر:

V={1,2,3,4,a,b,c,d}

A={1,2,3,4}

B={a,b,c,d}

 

 

 

 

گراف دو بخشي كامل k^4,4

تعريف 14.2.1 گراف ستاره درختي است كه يك رأس مجاور با همه‌ي رئوس دارد. گراف دو بخشي كامل k^1,m يك گراف ستاره مي باشد كه در آن و كه هيچ دو عضو از B مجاور نمي باشند.

به طور مثال اگر:

V={1,a,b,c,d}

A={1}

B={a,b,c,d}

 

 

 

تعريف 15.2.1 گرافي مانند را زير گراف G=(V,E) مي نامند اگر زير مجموعه‌ي V و زير مجموعه‌اي از E باشد. اگر W زير مجموعه اي دلخواه از V باشد زيرا گراف القايي G به وسيله‌ي W عبارت است از گراف H=(W,F) كه در آن F يالي در F است هرگاه F={v,u} يالي در E باشد و هر دوي v,u در W باشند.

 

 

 

 

تعريف 16.2.1 درجه هر رأس x درگراف G كه با نماد deg(x) نشان داده مي شود تعداد رأس هايي از گراف G است كه با X مجاورند به عبارت ديگر تعداد يالهاي گذرنده از هر رأس را درجه آن رأس مي ناميم.

تعريف 17.2.1طول كوتاه ترين مسير در گراف G كه از x آغاز و به y ختم مي شود را فاصله‌ي دو رأس x و y مي ناميم و با نماد d(x),(y) نمايش مي دهيم.

 

 

بعد از آشنايي با مباحث فوق به موضوع اصلي يعني گراف هاي مقسوم عليه صفر مي‌پردازيم. تعاريف ذيل از گراف هاي مقسوم عليه صفر حاصل تلاش اساتيد بزرگي است كه جاي تعمق و تأمل بسيار دارد:

نخستين تعريف از گراف مقسوم عليه صفر، ، توسط Anderson living ston (1999) بيان شد:

فرض كنيد R يك حلقه جابجايي و يكدار باشد و Z(R) مجموعه مقسوم عليه هاي صفر حلقه R باشد. يك گراف ساده از حلقه R كه رأس هاي آن
Z^*(R)= Z(R)-{0} (مجموعه‌ي مقسوم عليه هاي غيرصفر ازحلقه‌ي R باشند و دو رأس مجزاي مجاور باشند اگر و تنها اگر xy=0، مي توان ساخت.

ايده‌ي اصلي در مورد گراف هاي مقسوم عليه صفر توسط Beck (1988) بيان شده بود كه البته موضوع مورد علاقه وي رنگ آميزي گراف ها بود. Naseer وanderson درسال 1993 اين چنين بيان كردند: اگر R يك حلقه‌ي جابجايي ويكدار باشد R به يك گراف ساده كه رأس هاي آن عناصر حلقه‌ي R مي باشند. نظير مي شود.

مثال: 18.2.1 با توجه به تعاريف اوليه‌ي گراف هاي مقسوم عليه صفر، گراف حلقه‌هاي به صورت زير مي باشد:

 

 

گراف

كه درآنها تمامي عناصر حلقه به عنوان رئوس گراف در نظر گرفته مي‌شوند.

تعريف بعدي توسط F.R.De Meye and T.M chenzie and k.schneider (2002) ارائه شد كه درزير بيان شده است:

يك گراف غيرجهت دار به هر نيم گروه S صفردار جابجايي چندگانه متناظر مي‌شود. رئوس گراف بوسيله مقسوم عليه هاي صفر از S نام گذاري مي شوند و دو رأس x و y به وسيله يك يال به يكديگر متصل مي شوند هرگاه xy در S مساوي صفر شود. (xy=0).

تعريفي كه Beck بيان كرد اين چنين بود: براي هر حلقه جابجايي R گراف مقسوم عليه صفر G(R) را مي توان گرافي در نظر گرفت كه رئوس آن مقسوم عليه هاي صفر R (شامل 0) مي باشند با دو رأس b,a كه مجاورند هرگاه ab=0. مشكل Breck درمورد رنگ آميزي گراف ها بود كه هيچ دو راسي كه دريك گراف مجاورند هم رنگ نباشند.

و درنهايت تعريف كلي تري توسط Redmond (2002) ارائه شد كه مبناي مباحثي است كه دراين مقاله از نظر گراميتان مي گذرد:

براي يك حلقه جابجايي و يكدار R، گراف مقسوم عليه صفر R، كه با نشان داده مي شود گرافي است كه رئوس آن مقسوم عليه هاي صفر غير صفر R مي‌باشند و دو رأس مجزاي y,x مجاورند هرگاه حالضرب آن ها صفر باشد. (xy=0)

6

مثال 19.2.1 گراف برطبق تعريف اخير به صورت زير مي باشد :

 

 

گراف گراف گراف