چکیده

این مقاله بر گرفته از ترجمه دو موضوع در رابطه بادرونیابی یعنی مقدمه ای بر درونیابی چند جمله ای و پدیده رانگ در درونیابی می باشد.در این مقاله با استفاده از تقریب توابع درجه بالا(عمدتا"پیوسته وهموار) به کمک یک سری از چند جمله ای ها و بهینه سازی یک تقریب و محاسبه خطا در تقریب زدن هر تابع و با بکار گیری قضایای موجود در درونیابی مانند لژاندر فرم دقیق تری از توابع درونیاب را می یابیم.در ادامه بحث با استفاده از پدیده رانگ و کار روی شبکه هایی مانند شبکه گاوس-چبیشف و پدیده رانگ سعی در هر چه کوچک تر کردن خطای درونیابی بویژه روی توابع متعامد داریم.درادامه مقاله نیز با بکارگیری بسط ها روی توابع چند جمله ای متعامد وبصورت جزئی تر توابع چند جمله ای ژاکوبی (که در حالات خاص تبدیل به چند جمله ای های لژاندر و چبیشف می شود ) و همگرایی این بسط ها و همچنین نمایش طیفی توابع و خطای بر هم نهی () محاسبه و بهینه سازی می شود .

در خاتمه مقاله دیگری با نگاهی جزئی تر و کاربردی تر توسط یک برنامه کامپیوتری ( )پدیده رانگ در درونیابی و خطاهای خاص بحث می شود .

لغات کلیدی

شبکه و گره ، ثابت لبگ ، پدیده رانگ ، مدل انتگرالگیری چهار جزئی گاوس ، فضای هیلبرت ، تابع وزن ، حاصلضرب عددی گسسته ، نمایش طیفی ، خطای بر هم نهی ، خطای گذرا و پدیده گیبس

 

فهرست مطالب

عنوان صفحه

1-مقدمه……… …………………………………………….. 4 -1

2-درونیابی روی شبکه اي دلخواه ……………...……………………. 26-5

3-بسطها روي توابع چند جمله ای متعامد(orthogonal)...................................... 42 -26

4-همگرایی سريهاي طیفي .......................................................................................... 44-42

5- پدیده رانگ در درونیابی چند جمله ای ها .............................................................. 50-44

6- منابع ......................................................................................................................................... 51

 

 

-مقدمه

نظریه اساسی:

تقریب زدن توابع حقیقی(R→R) بوسیله چند جمله ای هاچند جمله ای هاتنها توابعی هستند که کامپیوتر میتواند به طور دقیق ارزیابی و مقدار دهی کرده و روی آنها عملیات مورد نیاز را انجام دهد.

دو نوع روش عددی بر اساس تقریب چند جمله ای:

• روش طیفی :مخصوص توابع با درجه بالا روی یک دامنه منفرد(یا حداکثر تعدادی دامنه)
• روش عناصر متناهی :مخصوص توابع با درجه پایین روی تعداد بیشتری از دامنهها.

توابعی با مقادیر حقیقی را روی بازه در نظر می گیریم:

● اگر مجموعه ای ازتمام چند جمله ایهای حقیقی بر روی بازه بسته باشد.

می توان استدلال کرد که:

 

• و(که یک عدد صحیح مثبت است )زیر مجموعه ای از چند جمله ایها با حداکثر درجهN.

آیا تقریب زدن توابع باچند جمله ایهاایده خوبی است ؟

برای توابع پیوسته،جواب مثبت است.

قضیه (وایرشتراس ، 1885)

P یک زیر فضای چگال از فضای ازتمام توابع پیوسته روی بازهاست ، که مجهز شده با نرم یکنواخت است.

یک نرم یکنواخت یا نرم ماکسیمم بوسیله تعریف میشود.

به عبارت دیگر می توان گفت:

برای هر تابع پیوسته مانند ، بر روی ، وهر، یک چند جمله ای مانند p وجود دارد که در آن ;

برای هر تابع پیوسته مانند، برروی، یک دنباله از چند جمله ای های وجود دارد،که به طور یکنواخت به همگرا خواهد بود.

 

 

بهترین تقریب چند جمله ای

برای توابع پیوسته داده شده بهترین تقریب چند جمله ای از درجه،عبارت است از چند جمله ای که در آن:

 

قضیه تناوبی چبیشف (یا قضیه هم نوسانی)

برای هرو بهترین تقریب چند جمله ای وجود دارد و یکتاست.

به علاوه نقطه مانند: و.......و و دربازهوجود دارد که درآن:

 

یا:

نتیجه :

از تابع در نقطه، درونیابی می کند.

 

 

 

نمایش نموداری قضیه تناوبی چبیشف

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-درونیابی بر روی شبکه ای دلخواه

تعریف: شبکه مجموعه ای از نقطه های در بازه است.

بطوریکه ( عدد صحیح داده شده است).

نقطه های گره هایی در شبکه نامیده می شود.

قضیه:برای تابع داده شده و شبکه با گره یک چند جمله ای یکتا از درجه وجود دارد که در آن:

;

تابع درونیاب (یا چند جمله ای درونیاب ) روی شبکه نامیده می شود.

بیان لاگرانژ درتوابع درونیاب

درونیاب می تواند در قالب لاگرانژ بصورت زیر بیان شود:

 

که ، امین چند جمله ای لاگرانژ است که با شبکه به صورت زیر مرتبط است :

 

که چند جمله ای های اصلی لاگرانژ بصورت زیر هستند:

 

مثالهاییاز چند جمله ای لاگرانژ :

خطای درونیابی با در نظر گرفتن بهترین تقریب

با در نظر گرفتن که و شبکه ای با تعداد گره و تابع حقیقی که .با در نظر گرفتن درونیاب برای تابع روی شبکه بهترین تقریب چند جمله ای نیز یک درونیاب برای با گره است . (که معمولا"متمایز از است)

چگونگی رفتار خطای بوسیله فرمول زیر با در نظر گرفتن کوچکترین خطای ممکن بررسی می شود.

 

که درآن ثابت لبگ بصورت زیر باشبکه مرتبط است.

ثابت لبگ

ثابت لبگ تمام اطلاعاتی را که متاثر از حق انتخاب های متفاوت روی است را شامل می شود.

 

 

 

 

قضیه:(ادراس،1961)

برای هر انتخاب شبکه ، یک ثابت وجود دارد بطوریکه:

 

نتیجه: بطوریکه .به صورت دقیق تر:برای یک شبکه یکنواخت داریم:

 

این بدان معنی است که به ازای هر انتخاب با هرنوع نمونه برداری از بازه وجود دارد یک تابع پیوستهبطوریکه که در آن به طور یکنواخت به سمت همگرا نخواهد شد.